Make your own free website on Tripod.com
 

Knot family: p111q
(pq = 0 (mod 2); p³q; p111q = q111p)
 

Notation: 

  21112    7
  31112    813
  41112     914
  51111010         41111019
 

Dowker codes: 

  21112      4   8  10  12   2  14   6
  31112      4  10  12  14   2  16   8   6
  41112      4  10  12  16  14   2  18   8   6
  51112      4  12  14  18  16   2  20  10   8   6
  61112      4  12  14  20  18  16   2  22  10   8   6
  71112      4  14  16  22  20  18   2  24  12  10   8   6
  81112      4  14  16  24  22  20  18   2  26  12  10   8   6
  91112      4  16  18  26  24  22  20   2  28  14  12  10   8   6
101112      4  16  18  28  26  24  22  20   2  30  14  12  10   8   6
111112      4  18  20  30  28  26  24  22   2  32  16  14  12  10   8   6

  41113      6  12  14  16  18   2   4  20  10   8
  61113      6  14  16  18  20  22   4   2  24   8  10  12
  81113      6  16  18  20  22  24  26   4   2  28   8  10  12  14
101113      6  18  20  22  24  26  28  30   4   2  32   8  10  12  14  16

  41114      6  14  12  16  20  18   4   2  22  10   8
  51114      6  14  16  18  22  20   2   4  24  12  10   8
  61114      6  16  14  18  24  22  20   4   2  26  12  10   8
  71114      6  16  18  20  26  24  22   2   4  28  14  12  10   8
  8111     6  18  16  20  28  26  24  22   4   2  30  14  12  10   8
  91114      6  18  20  22  30  28  26  24   2   4  32  16  14  12  10   8

  61115      8  16  18  20  22  26  24   2   4   6  28  14  12  10
  81115      8  20  18  22  24  26  28  30   6   4   2  32  10  12  14  16

  61116      8  20  18  16  22  28  26  24   6   4   2  30  14  12  10 
  71116      8  18  20  22  24  30  28  26   2   4   6  32  16  14  12  10
 

Alexander polynomials:

  21112      [9     -5  1
  31112      [11   -7  2
  41112      [15   -9  2
  51112      [17 -11  3
  61112      [21 -13  3
  71112      [23 -15  4
  81112      [27 -17  4
  91112      [29 -19  5
101112      [33 -21  5
111112      [35 -23  6

  41113      [11 -11  7   -2
  61113      [11 -11 11  -7   2
  81113      [11 -11 11 -11  7  -2
101113      [11 -11 11 -11 11 -7  2

  41114      [25  -16  4
  51114      [17 -17  11 -3
  61114      [35 -23   6
  71114      [23 -23 15 -4
  8111     [45 -30   8
  91114      [29 -29 19 -5

  61115      [17 -17  17 -11   3
  81115      [17 -17  17 -17  11  -3

  61116      [49 -33   9
  71116      [23 -23  23 -15  4
 
D((2m)111(2n)) = mn - (3mn+m+n)t + (2m+1)(2n+1)t2 - (3mn+m+n)t3 + mnt4
D((2m+1)111(2n)) = m+1 - (4m+3)t + (6m+5) 2n
å
i = 2
(-1)iti - (4m-3)t2n+1 + (m+1)t2n+2
D((2m)111(2n+1)) = n+1 - (4n+3)t + (6n+5) 2m
å
i = 2
(-1)iti - (4n-3)t2m+1 + (n+1)t2m+2

Jones polynomials: 

  21112      -4    3         1 -2  3 -4  4 -3  3 -1
  31112      -3    5        -1  3 -4  5 -5  5 -3  2 -1
  41112      -6    3         1 -2  3 -5  6 -6  6 -4  3 -1
  51112      -3    7        -1  3 -4  6 -7  7 -6  5 -3  2 -1
  61112      -8    3         1 -2  3 -5  6 -7  8 -7  6 -4  3 -1
  71112      -3    9        -1  3 -4  6 -7  8 -8  7 -6  5 -3  2 -1
  81112    -10   3         1 -2  3 -5  6 -7  8 -8  8 -7  6 -4  3 -1
  91112    -3   11        -1  3 -4  6 -7  8 -8  8 -8  7 -6  5 -3  2 -1
101112    -12   3         1 -2  3 -5  6 -7  8 -8  8 -8  8 -7  6 -4  3 -1
111112     -3   13        -1  3 -4  6 -7  8 -8  8 -8  8 -8  7 -6  5 -3  2 -1

  41113      -6    4        -1  3 -5  7 -8   8  -7  6 -3  2 -1
  61113      -9    3        -1  3 -5  7 -9 10 -10  9 -7  6 -3  2 -1
  8111

101113     -15    1        -1  3 -5  7 -9 10 -11 11 -11 11 -10  9 -7  6 -3  2 -1

  41114      -8    3         1 -2  3 -6   8  -9   10   -9    8  -5     3  -1
  51114      -6    6        -1  3 -5  8 -10 11  -11 10   -8    6    -3   2 -1
  61114    -10    3         1 -2  3 -6    8 -10  12 -12 12  -10     8  -5  3 -1
  71114      -6    8        -1  3 -5  8  -10 12 -13  13 -12  10    -8   6 -3  2 -1
  8111   -12    3         1 -2  3 -6    8 -10  12 -13  14 -13   12 -10  8 -5  3 -1
  91114      -6  10        -1  3 -5  8  -10 12 -13  14 -14   13 -12  10 -8  6 -3  2 -1

  61115      -9    5        -1  3 -5  8 -11 13 -14 14 -13 11  -8   6 -3  2  -1
  81115    -12    4        -1  3 -5  8 -11 13 -15 16 -16 15 -13 11 -8  6 -3  2 -1

  61116    -12    3         1 -2  3 -6    8 -11  14 -15  16 -15   14 -11   8 -5  3 -1
  71116      -9    7        -1  3 -5  8 -11  14 -16  17 -17  16  -14  11  -8  6 -3  2 -1
 

Symmetry groups: D4 if p = q; otherwise D2.

Symmetry type: reversible.

Signatures: 
       0 if p = q = 0 (mod 2);
       q-2 if p = 1 (mod 2) and q = 0 (mod 2);
       p-2 if q = 1 (mod 2) and p = 0 (mod 2);
 



Unknotting numbers:

          u(p1112) = 1; u(p1113) = p/2; u(p1114) =2;
        u(p111q) = min (u((p-3)1(q-1)), u((p-1)1(q-3)) + 1 
        hence:
        u((2m)111(2n)) = n;
        u((2m)111(2n+1)) = m;
        u((2m+1)111(2n)) = n.
 


 

 

Tables

Text