Make your own free website on Tripod.com
 

Knot family: p1q
   (p = 1 (mod 2) or q = 1 (mod 2); 
     p³ q; p1q = q1p)
 

Notation: 

  3162
                       313    74
  512   82         413    8
                       513     95
  712  102         613   104          514   108
 

Dowker codes: 

  312      4   8  10  12   2   6
  512      4  10  12  14  16   2    6    8
  712      4  12  14  16  18  20   2    6   8  10
  91     4  14  16  18  20  22  24   2   6   8  10  12
1112      4  16  18  20  22  24  26  28   2   6   8  10 12 14
1312      4  18  20  22  24  26  28  30  32  2   6   8  10 12 14 16

  313       6  10  12  14   4   2   8
  413       6  10  12  16  14   4   2   8
  513       6  12  14  18  16   4   2  10   8
  613       6  12  14  20  18  16   4   2  10   8
  713      6  14  16  22  20  18   4   2  12  10   8
  813       6  14  16  24  22  20  18   4   2  12  10   8
  913      6  16  18  26  24  22  20   4   2  14  12  10   8
1013       6  16  18  28  26  24  22  20   4   2  14  12  10   8
1113       6  18  20  30  28  26  24  22   4   2  16  14  12  10   8
1213       6  18  20  32  30  28  26  24  22  4   2   16  14  12  10  8

  514       6  14  12  16  18  20   4    2    8  10
  714       6  16  14  18  20  22  24   4    2   8  10  12
  914       6  18  16  20  22  24  26  28   4   2    8  10  12  14
1114       6  20  18  22  24  26  28  30  32   4   2    8   10  12 14 16

  515       8  16  14  18  22  20   6   4   2  12  10
  615       8  14  16  18  24  22  20   4   6   2  12  10
  715       8  18  16  20  26  24  22   6   4   2  14  12  10
  815       8  16  18  20  28  26  24  22   4   6   2  14  12  10
  915      8  20  18  22  30  28  26  24   6   4   2  16  14  12  10
1015       8  18  20  22  32  30  28  26  24   4   6   2  16  14  12  10

  716      8  20  18  16  22  24  26  28   6   4   2  10  12  14
  916      8  22  20  18  24  26  28  30  32   6   4   2  10  12  14  16

  717     10  22  20  18  24  30  28  26   8   6   4   2  16  14  12
  81    10  18  20  22  24  32  30  28  26   4   6   8   2  16  14  12
 

Alexander polynomials:

  312       [3 -3  1
  512       [3 -3  3 -1
  712       [3 -3  3 -3  1
  912       [3 -3  3 -3  3 -1
1112       [3 -3  3 -3  3 -3  1
1312       [3 -3  3 -3  3 -3  3 -1

  313       [7 -4
  413       [5 -5  2
  513       [11 -6
  613       [7 -7  3
  713       [15 -8
  813       [9 -9  4
  913       [19 -10
1013       [11 -11  5
1113       [23 -12
1213       [13 -13  6

  514       [5 -5  5 -2
  71      [5 -5  5 -5  2
  914       [5 -5  5 -5  5 -2
1114       [5 -5  5 -5  5 -5  2

  51      [17 -9
  615       [7 -7  7 -3
  715       [23 -12 
  815       [9 -9  9 -4
  915       [29 -15
1015       [11 -11  11 -5

  716       [7 -7  7 -7  3
  916       [7 -7  7 -7  7 -3

  717       [31 -16
  817       [9 -9  9 -9  4
 
D((2m + 1)1(2n + 1)) = (m + 1)(n + 1) - (2mn + 2m + 2n + 1)t +(m + 1)(n + 1)t2
D((2m)1(2n + 1)) = m + (2m + 1) 2n+1
å
i = 1
(-1)i ti + mt2n+2
D((2m+1)1(2n)) = n + (2n + 1) 2m+1
å
 i = 1
(-1)i ti + nt2m+2

Jones polynomials: 

  312        -5    1         1 -2  2 -2  2 -1  1
  51       -8    0         1 -2  2 -3  3 -2  2 -1  1
  712       -11  -1         1 -2  2 -3  3 -3  3 -2  2 -1  1
  912       -14  -2         1 -2  2 -3  3 -3  3 -3  3 -2  2 -1  1
1112       -17  -3         1 -2  2 -3  3 -3  3 -3  3 -3  3 -2  2 -1  1
1312       -19  -4         1 -2  2 -3  3 -3  3 -3  3 -3  3 -3  3 -2  2 -1  1

  313         1    8         1 -2  3 -2  3 -2  1 -1
  413        -3    5         1 -1  2 -3  3 -3  3 -2  1
  513        1   10         1 -2  3 -3  4 -3  3 -2  1 -1
  613        -5    5         1 -1  2 -3  3 -4  4 -3  3 -2  1
  713        1   12         1 -2  3 -3  4 -4  4 -3  3 -2  1 -1
  81       -7    5         1 -1  2 -3  3 -4  4 -4  4 -3  3 -2  1
  913        1   14         1 -2  3 -3  4 -4  4 -4  4 -3  3 -2  1 -1
1013        -9    5         1 -1  2 -3  3 -4  4 -4  4 -4  4 -3  3 -2  1
1113        1   16         1 -2  3 -3  4 -4  4 -4  4 -4  4 -3  3 -2  1 -1
121      -11   5         1 -1  2 -3  3 -4  4 -4  4 -4  4 -4  4 -3  3 -2  1

  514        -8   2          1 -2  3 -4  4 -4  4 -3  2 -1  1
  714       -11  1          1 -2  3 -4  4 -5  5 -4  4 -3  2 -1  1
  914
111

  515         1  12         1 -2  3 -4  5 -4  5 -4  3 -2  1 -1
  615       -4    8         1 -1  2 -3  4 -5  5 -5  5 -4  3 -2  1
  715        1  14        1 -2  3 -4  5 -5  6 -5  5 -4  3 -2  1 -1
  81      -6    8         1 -1  2 -3  4 -5  5 -6  6 -5  5 -4  3 -2  1
  915            16         1 -2  3 -4  5 -5  6 -6  6 -5  5 -4  3 -2  1 -1
101      -8    8         1 -1  2 -3  4 -5  5 -6  6 -6  6 -5  5 -4  3 -2  1

  716       -11  3         1 -2  3 -4  5 -6  6 -6  6 -5  4 -3  2 -1  1
  916       -14  2         1 -2  3 -4  5 -6  6 -7  7 -6  6 -5  4 -3  2 -1  1

  717        1  16         1 -2  3 -4  5 -6  7 -6  7 -6  5 -4  3 -2  1 -1
  817       -5  11         1 -1  2 -3  4 -5  6 -7  7 -7  7 -6  5 -4  3 -2  1
 
 

Symmetry groups: D4 if p = q; otherwise D2.

Symmetry type: chiral and reversible.

Signatures: 
       2 if p = q = 1 (mod 2);
       p-1 if p = 1 (mod 2) and q = 0 (mod 2);
       q-1 if q = 1 (mod 2) and p = 0 (mod 2);
 
 


Unknotting numbers:

          u(p2) = 1; u(p3) = 2; 
        u(p1q) = min (u((p-2)1q), u(p1(q-2), u((p-2)1(q-2))) + 1 
        except for the subfamily (2m+1)1(2m), where
        u((2m+1)1(2m)) = min (u((2m-1)1(2m)), u((2m+1)1(2m-2)), u((2m)1(2m-1)) + 1
        hence: 
        u((2m+1)1(2n+1)) = n+1; u((2m+1)(2n)) = m; u((2m)1(2n+1)) = n+1. 
 



 

 

Tables

Text