Make your own free website on Tripod.com
 

Knot family: pq (pq = 0 (mod 2); p ³ q; pq = qp)
 

Notation: 

  22     41
  32     52
  42     61 
  52     72       43   73           44     83
  62     81                             54     94
  72     92       63   93            64   103
  42    101
 

Dowker codes: 

  22      4   6   8   2
  32      4   8  10   2   6
  4     4   8  12  10   2   6
  52      4  10  14  12   2   8   6
  62      4  10  16  14  12   2   8   6
  72      4  12  18  16  14   2  10   8   6
  82      4  12  20  18  16  14   2  10   8   6
  9     4  14  22  20  18  16   2  12  10   8   6
102      4  14  24  22  20  18  16   2  12  10   8   6
112      4  16  26  24  22  20  18   2  14  12  10  8   6
122      4  16  28  26  24  22  20  18  2   14  12 10  8   6
132      4  18  30  28  26  24  22  20  2   16 14  12 10  8   6
142      4  18  32  30  28  26  24  22 20   2  16  14 12 10  8   6

  43       6   10  12  14   2    4   8
  63       8   12  14  16  18   2   4    6  10
  83      10  14  16  18  20  22   2   4    6   8  12
103      12  16  18  20  22  24  26   2   4   6   8  10  14
123      14  18  20  22  24  26  28  30  2   4   6   8   10  12 16

  44       6  12  10  16  14   4   2   8
  54       6  12  14  18  16   2   4  10   8
  6      6  14  12  20  18  16   4   2  10   8
  74       6  14  16  22  20  18   2   4  12  10   8
  84       6  16  14  24  22  20  18   4   2  12  10   8
  94       6  16  18  26  24  22  20   2   4  14  12  10   8
104       6  18  16  28  26  24  22  20   4   2  14  12  10   8
114       6  18  20  30  28  26  24  22  20  2   4   14  12  10  8

  65       8  14  16  18  22  20   2   4   6  12  10
  85      10  16  18  20  22  26  24   2   4   6   8  14  12
105      12  18  20  22  24  26  30  28   2   4   6   8  10  16  14

  66      8  18  16  14  24  22  20   6   4   2  12  10
  76      8  16  18  20  26  24  22   2   4   6  14  12  10
  86      8  20  18  16  28  26  24  22   6   4   2  14  12  10
  96      8  18  20  22  30  28  26  24   2   4   6  16  14  12  10
106      8  22  20  18  32  30  28  26  24   6   4   2  16  14  12  10
 

Alexander polynomials:

  22       [3 -1
  32       [3 -2
  4      [5 -2
  52       [5 -3
  62       [7 -3
  72       [7 -4
  82       [9 -4
  92       [9 -5
10      [11 -5
112       [11 -6
122       [13 -6
132       [13 -7
142       [14 -7

  43       [3 -3  2
  63       [3 -3  3 -2
  83       [3 -3  3 -3  2
103       [3 -3  3 -3  3 -2
123       [3 -3  3 -3  3 -3  2

  4      [9  -4
  54       [5  -5  3
  64       [13 -6
  7      [7  -7  4
  8      [17 -8
  94       [9  -9  5
10      [21 -10
114       [11 -11 6
124       [25 -12

  65       [5 -5  5  -3
  85       [5 -5  5  -5  3
105       [5 -5  5  -5  5  -3

  66       [19 -9
  76       [7  -7  7 -4
  86       [25 -12
  96       [9  -9  9 -5
106       [31 -15
 
D((2m)(2n))  =  mn - (2mn + 1)t + mnt2
D((2m+1)(2n)) = (m + 1)  + (2m + 1) 2n-1
å
i = 1
(-1)i ti + (m + 1)t2n
D((2m)(2n+1)) = (n + 1)  + (2n + 1) 2m-1
å
i= 1
(-1)i ti + (n + 1)t2m

Jones polynomials: 

  22       -2    2          1 -1  1 -1  1
  32        1    6          1 -1  2 -1  1 -1
  4      -4    2          1 -1  1 -2  2 -1  1
  5       1    8          1 -1  2 -2  2 -1  1 -1
  62       -6    2          1 -1  1 -2  2 -2  2 -1  1
  72        1   10         1 -1  2 -2  2 -2  2 -1  1 -1
  82       -8    2          1 -1  1 -2  2 -2  2 -2  2 -1  1
  92        1   12         1 -1  2 -2  2 -2  2 -2  2 -1  1 -1
102      -10   2          1 -1  1 -2  2 -2  2 -2  2 -2  2 -1  1
112       1   14          1 -1  2 -2  2 -2  2 -2  2 -2  2 -1  1  -1
122      -12   2          1 -1  1 -2  2 -2  2 -2  2 -2  2 -2  2  -1  1
132        1   16         1 -1  2 -2  2 -2  2 -2  2 -2  2 -2  2  -1  1 -1
142      -14   2          1 -1  1 -2  2 -2  2 -2  2 -2  2 -2  2  -2  2 -1  1 

  43        2    9          1 -1  2 -2  3 -2  1 -1
  63        3   12         1 -1  2 -2  3 -3  3 -2  1 -1
  8       4   15         1 -1  2 -2  3 -3  3 -3  3 -2  1 -1
103        5   18         1 -1  2 -2  3 -3  3 -3  3 -3  3 -2  1 -1
12       6   21         1 -1  2 -2  3 -3  3 -3  3 -3  3 -3  3 -2  1 -1

  44       -4    4          1 -1  2 -3  3 -3  2 -1  1
  54        2   11         1 -1  2 -3  4 -3  3  -2  1 -1
  6      -6    4          1 -1  2 -3  3 -4  4  -3  2 -1  1
  74        2   13         1 -1  2 -3  4 -4  4  -3  3 -2  1  -1
  84       -8    4          1 -1  2 -3  3 -4  4  -4  4 -3  2  -1  1
  94        2   15         1 -1  2 -3  4 -4  4  -4  4 -3  3  -2  1 -1
104      -10   4          1 -1  2 -3  3 -4  4  -4  4 -4  4  -3  2 -1  1
114       2   17          1 -1  2 -3  4 -4  4  -4  4 -4  4  -3  3 -2  1 -1
124      -12   4          1 -1  2 -3  3 -4  4  -4  4 -4  4  -4  4 -3  2 -1  1

  65        3   14         1 -1  2 -3  4 -4  5 -4  3 -2  1 -1
  8       4   17         1 -1  2 -3  4 -4  5 -5  5 -4  3 -2  1 -1
10       5   20         1 -1  2 -3  4 -4  5 -5  5 -5  5 -4  3 -2  1 -1

  66       -6    6          1 -1  2 -3  4 -5  5 -5  4 -3  2 -1 1
  76        3   16         1 -1  2 -3  4 -5  6 -5  5 -4  3 -2  1 -1
  86       -8    6          1 -1  2 -3  4 -5  5 -6  6 -5  4 -3  2 -1 1
  96        3   18         1 -1  2 -3  4 -5  6 -6  6 -5  5 -4  3 -2  1 -1
106      -10    6         1 -1  2 -3  4 -5  5 -6  6 -6  6 -5  4 -3  2 -1  1
 
 

Symmetry groups: D2 if p = q; otherwise D1.

Symmetry type: fully amphicheiral for p = q; otherwise cheiral and reversible.

Signatures: 
       0 if p = q = 0 (mod 2);
       p if p = 0 (mod 2) and q = 1 (mod 2);
       q if q = 0 (mod 2) and p = 1 (mod 2).
 
 





Unknotting numbers:

          u(p2) = 1; u(p3) = p/2; u(pq) = min (u(p-2,q), u(p,q-2)) + 1
        hence:
        u((2m)(2n)) = n; u((2m+1)(2n)) = n; u((2m)(2n+1)) = m.
 
 


 

Tables

Text