Make your own free website on Tripod.com
 

Knot family: pq1r
(r = 0(mod 2) or p = r = 1 (mod 2); 
    pq1r = r1pq)
 

Notation: 
 
2212 76
3212 811   2312 88
4212 912   2412 98   2214 911
5212 107   2512 1034
4312 1012   3412 1021
3213 913
3214 1016   2314 1015
3313 1022

 

Dowker codes: 

  3212        8 12 14 10  2  6  4
  5212      10 14 16 18 12  2  8  4  6
  7212      12 16 18 20 22 14  2 10  4  6  8
  921     14 18 20 22 24 26 16  2 12  4  6  8 10
11212      16 20 22 24 26 28 30 18  2 14  4  6  8 10 12

  3312      10 14 16 12  2  8  6  4
  3412      10 16 18 14 12  2  8  6  4
  3512      12 18 20 16 14  2 10  8  6  4
  3612      12 20 22 18 16 14  2 10  8  6  4
  3712      14 22 24 20 18 16  2 12 10  8  6  4
  3812      14 24 26 22 20 18 16  2 12 10  8  6  4
  3912      16 26 28 24 22 20 18  2 14 12 10  8  6  4
31012      16 28 30 26 24 22 20 18  2 14 12 10  8  6  4 
31112      18 30 32 28 26 24 22 20  2 16 14 12 10  8  6  4 

  5312      12 16 18 20 14 2 10 8 4 6
  7312      14 18 20 22 24 16 2 12 10 4 6 8
  9312      16 20 22 24 26 28 18 2 14 12 4 6 8 10 
11312      18 22 24 26 28 30 32 20 2 16 14 4 6 8 10 12

  5412      12 18 20 22 16 14  2 10  8  4  6
  7412      14 20 22 24 26 18 16  2 12 10  4  6  8
  9412      16 22 24 26 28 30 20 18  2 14 12  4  6  8 10
 

  5512      14 20 22 24 18 16  2 12 10  8  4  6
  5612      14 22 24 26 20 18 16  2 12 10  8  4  6
  5712      16 24 26 28 22 20 18  2 14 12 10  8  4  6
  5812      16 26 28 30 24 22 20 18  2 14 12 10  8  4  6
  5912      18 28 30 32 26 24 22 20  2 16 14 12 10  8  4  6

  7512      16 22 24 26 28 20 18  2 14 12 10  4  6  8
  951     18 24 26 28 30 32 22 20  2 16 14 12  4  6  8 10

  7612      16 24 26 28 30 22 20 18  2 14 12 10  4  6  8

  7712      18 26 28 30 32 24 22 20  2 16 14 12 10  4  6  8

  3313      12 10 14 18 16  2  4  6  8
  4313      14 16 12 20 18  6  4  2 10  8
  5313      14 12 16 22 20 18  2  4  6 10  8
  6313      16 18 14 24 22 20  6  4  2 12 10  8
  7313      16 14 18 26 24 22 20  2  4  6 12 10  8
  8313      18 20 16 28 26 24 22  6  4  2 14 12 10  8
  9313      18 16 20 30 28 26 24 22  2  4  6 14 12 10  8
10313      20 22 18 32 30 28 26 24  6  4  2 16 14 12 10  8

  353         14 12 16 18 22 20  2  4  6  8 10
  373         16 14 18 20 22 26 24  2  4  6  8 10 12 
  393         18 16 20 22 24 26 30 28  2  4  6  8 10 12 14

  4413      16 18 14 12 20 22  6  4  2  8 10
  641     18 20 16 14 22 24 26  6  4  2  8 10 12
  841     20 22 18 16 24 26 28 30  6  4  2  8 10 12 14

  4513      18 20 16 14 24 22  8  6  4  2 12 10 
  4613      20 22 18 16 14 24 26  8  6  4  2 10 12
  4713      22 24 20 18 16 28 26 10  8  6  4  2 14 12
  481     24 26 22 20 18 16 28 30 10  8  6  4  2 12 14 
  4913      26 28 24 22 20 18 32 30 12 10  8  6  4  2 16 14

  5513      16 14 18 20 26 24 22  2  4  6  8 12 10
  6513      20 22 18 16 28 26 24  8  6  4  2 14 12 10 
  7513      18 16 20 22 30 28 26 24  2  4  6  8 14 12 10
  8513      22 24 20 18 32 30 28 26  8  6  4  2 16 14 12 10 

  5713      18 16 20 22 24 30 28 26  2  4  6  8 10 14 12

  661     22 24 20 18 16 26 28 30  8  6  4  2 10 12 14

  6713      24 26 22 20 18 32 30 28 10  8  6  4  2 16 14 12

  5414      14 16 22 24 26 20 18  2  4 12 10  6  8
  741     16 18 24 26 28 30 22 20  2  4 14 12  6  8 10

  551     18 16 24 26 28 22 20  4  2 14 12 10  6  8
  7514      20 18 26 28 30 32 24 22  4  2 16 14 12  6  8 10

  5614      16 18 26 28 30 24 22 20  2  4 14 12 10  6  8
  5714      20 18 28 30 32 26 24 22  4  2 16 14 12 10  6  8

  5515      20 18 16 22 24 30 28 26  4  2  6  8 10 14 12
  651     22 24 26 20 18 32 30 28 10  8  6  2  4 16 14 12
 

Alexander polynomials:

  3212      [5 -4  2
  5212      [5 -5  4 -2
  7212      [5 -5  5 -4  2
  921     [5 -5  5 -5  4 -2
11212      [5 -5  5 -5  5 -4  2

  3312      [7     -6  2
  3412      [9     -7  3
  3512      [11   -9  3
  3612      [13 -10  4
  3712      [15 -12  4
  3812      [17 -13  5
  3912      [19 -15  5
31012      [21 -16  6
31112      [23 -18  6

  5312      [7 -7  6 -2
  7312      [7 -7  7 -6  2
  9312      [7 -7  7 -7  6 -2
11312      [7 -7  7 -7  7 -6  2

  5412      [9 -9  7 -3
  7412      [9 -9  9 -7  3
  9412      [9 -9  9 -9  7 -3

  5512      [11 -11   9 -3
  5612      [13 -13 10 -4
  5712      [15 -15 12 -4
  5812      [17 -17 13 -5
  5912      [19 -19 15 -5

  7512      [11 -11 11   -9  3
  951     [11 -11 11 -11  9 -3

  7612      [13 -13 13 -10  4

  7712      [15 -15 15 -12  4

  3313      [  9  -8    4
  4313      [13 -11   4
  5313      [15 -13   6
  6313      [19 -16   6
  7313      [21 -18   8
  8313      [25 -21   8
  9313      [27 -23 10
10313      [31 -26 10

  353        [9  -9  8  -4
  373        [9  -9  9  -8  4
  393        [9  -9  9  -9  8  -4

  4413      [13 -11   7   -3
  641     [13 -13 11   -7  3
  841     [13 -13 13 -11  7  -3

  4513      [21 -17   6
  4613      [19 -16 10  -4
  4713      [29 -23   8
  481     [25 -21 13  -5
  4913      [37 -29 10

  5513      [15 -15 13  -6
  6513      [31 -25   9
  7513      [21 -21 18  -8
  8513      [41 -33 12

  5713      [15 -15 15 -13  6

  661     [19 -19 16 -10  4

  6713      [43 -34 12

  5414      [17 -15 11   -7  3
  741     [17 -17 15 -11  7  -3

  551     [21 -21 17   -6
  7514      [21 -21 21 -17  6

  5614      [25 -22 16 -10  4
  5714      [29 -29 23  -8

  5515      [25 -25 21 -9
  651     [31 -31 25 -9
 

D((2k)(2l)1(2m)) = kl-(3kl+k+1)t +
+ (4kl+2k+1) 2m
å
 i = 2
(-t)i-(3kl+k+1)t2m+1+klt2m+2
D((2k+1)(2l)1(2m)) = (km+m)-(6km-2k-m+4)t +
+ (2k+1)(2m+1) 2m
å
 i = 2
(-t)i-(6km-2k-m+4)t2m+1+(km+m)t2m+2
D((2k)(2l+1)1(2m)) = (l+1) 2k-1
å
i = 0
(2i+1)(-t)i+
+ (4kl+4k+1) 2m
å
i = 2k
(-t)i + (l+1) 2k-1
å
i = 0
(2i+1)(-t)2k+2m-i,     k £ m 
D((2k)(2l+1)1(2m)) = (l+1) 2m
å
i = 0
(2i+1)(-t)i +
+ (2ml+2m+2l+1) 2k-1
å
i = 2m+1
(-t)i + (l+1) 2m
å
i = 0
(2i+1)(-t)2k+2m-i,     k > m 
D((2k+1)(2l)1(2m+1)) = (l+1)(m+1)-(3lm+3l+2m+1)t +
+ (4lm+4l+2m+1) 2k
å
i = 2
(-t)i-(3lm+3l+2m+1)t2k+1+(l+1)(m+1)t2k+2
D((2k+1)(2l+1)1(2m+1)) = (l+1) 2k
å
i = 0
(2i+1)(-t)i
+ (4kl+4k+2l+3) 2m+1
å
i = 2k+1
(-t)i + (l+1) 2k
å
i = 0
(2i+1)(-t)2k+2m+1-i,     k £ m 
D((2k+1)(2l+1)1(2m+1)) = (l+1) 2m+1
å
i = 0
(2i+1)(-t)i +
+ (4lm+4l+4m+3) 2k
å
i = 2m+2
(-t)i + (l+1) 2k
å
i = 0
(2i+1)(-t)2k+2m+1-i,     k > m 

 

Jones polynomials: 

  322      2     9         1 -1  3 -3  3 -3  2 -1
  522      3   12         1 -1  3 -3  4 -5  4 -3  2 -1
  722      4   15         1 -1  3 -3  4 -5  5 -5  4 -3  2 -1
  92     5   18         1 -1  3 -3  4 -5  5 -5  5 -5  4 -3  2 -1
1122      6   21         1 -1  3 -3  4 -5  5 -5  5 -5  5 -5  4 -3  2 -1

  332      -7    1        1 -2  3 -4  4 -4  3 -1  1
  342       2   11       1 -1  3 -4  5 -5  4 -3  2 -1
  352      -9    1        1 -2  3 -4  5 -6  5 -4  3 -1  1
  362       2   13       1 -1  3 -4  5 -6  6 -5  4 -3  2 -1
  37   -11    1       1 -2  3 -4  5 -6  6 -6  5 -4  3 -1  1
  382      2   15       1 -1  3 -4  5 -6  6 -6  6 -5  4 -3  2 -1
  392     -13    1       1 -2  3 -4  5 -6  6 -6  6 -6  5 -4  3 -1  1
3102       2   17       1 -1  3 -4  5 -6  6 -6  6 -6  6 -5  4 -3  2 -1
3112     -15    1       1 -2  3 -4  5 -6  6 -6  6 -6  6 -6  5 -4  3 -1  1

  532     -10    0       1 -2  3 -5  6 -6  5 -4  3 -1  1
  732     -13   -1       1 -2  3 -5  6 -7  7 -6  5 -4  3 -1  1
  932     -16   -2       1 -2  3 -5  6 -7  7 -7  7 -6  5 -4  3 -1  1
1132     -19   -3       1 -2  3 -5  6 -7  7 -7  7 -7  7 -6  5 -4  3 -1  1

  542       3   14       1 -1  3 -4  6 -7  7 -7  5 -3  2 -1
  742       4   17       1 -1  3 -4  6 -7  8 -9  8 -7  5 -3  2 -1
  942       5   20       1 -1  3 -4  6 -7  8 -9  9 -9  8 -7  5 -3  2 -1

  552     -12    0       1 -2  3 -5  7 -8  8   -8  6   -4  3 -1  1
  562       3   16       1 -1  3 -4  6 -8  9   -9  8.  -7  5 -3  2 -1
  572     -14    0       1 -2  3 -5  7 -8  9 -10  9   -8  6 -4  3 -1  1
  582       3   18       1 -1  3 -4  6 -8  9 -10 10   -9  8 -7  5 -3  2 -1
  592     -16    0       1 -2  3 -5  7 -8  9 -10 10 -10  9 -8  6 -4  3 -1  1

  752     -15   -1       1 -2  3 -5  7 -9 10 -10   9  -8  6 -4  3 -1  1
  95    -18   -2       1 -2  3 -5  7 -9 10 -11 11 -10  9 -8  6 -4  3 -1  1

  762        4  19       1 -1  3 -4  6 -8 10 -11 11 -11   9 -7  5 -3  2 -1

  772     -17   -1       1 -2  3 -5  7 -9 11 -12 12 -12 10 -8  6 -4  3 -1  1

  333       2   11       1 -2  4 -5  6 -5  5  -3   1   -1
  433      -3    7        1 -1  3 -5  6 -7  7  -6   4   -2   1
  533       2   13       1 -2  4 -6  8 -8  8  -6   5   -3   1 -1
  633      -5    7        1 -1  3 -5  6 -8  9  -9   8   -6   4 -2  1
  733       2   15       1 -2  4 -6  8 -9 10  -9   8   -6   5 -3  1 -1
  833      -7    7        1 -1  3 -5  6 -8  9 -10 10   -9   8 -6  4 -2  1
  933       2   17       1 -2  4 -6  8 -9 10 -10 10   -9   8 -6  5 -3  1 -1
1033      -9    7        1 -1  3 -5  6 -8   9 -10 10 -10 10 -9  8 -6  4 -2  1

  353       3   14       1 -2  4 -5  7 -8  8 -6  5 -3  1 -1
  373       4   17       1 -2  4 -5  7 -8  9 -9  8 -6  5 -3  1 -1
  393       5   20       1 -2  4 -5  7 -8  9 -9  9 -9  8 -6  5 -3  1 -1

  443       3   14       1 -1  3 -5  7 -8   9  -8   6   -4   2 -1
  64      4   17       1 -1  3 -5  7 -9 11 -11 11   -9   6 -4  2 -1
  84      5   20       1 -1  3 -5  7 -9 11 -12 13 -12 11 -9  6 -4  2 -1

  453      -3    9       1 -1  3 -5  7 -9 10 -10   8  -6   4  -2  1
  463      3   16       1 -1  3 -5  7 -9 11 -11 10   -8   6  -4  2 -1
  473      -3  11       1 -1  3 -5  7 -9 11 -12 11 -10   8  -6  4 -2  1
  48     3   18       1 -1  3 -5  7 -9 11 -12 12 -11 10  -8  6 -4  2 -1
  493     -3   13       1 -1  3 -5  7 -9 11 -12 12 -12 11 -10  8 -6  4 -2  1

  553      3   16       1 -2  4 -6  9 -11 12 -11 10   -7   5   -3  1 -1
  653     -5    9        1 -1  3 -5  7 -10 12 -13 13 -12   9   -6  4 -2  1
  753      3   18       1 -2  4 -6  9 -12 14 -14 14 -12 10   -7  5 -3  1 -1
  853     -7    9        1 -1  3 -5  7 -10 12 -14 15 -15 14 -12  9 -6  4 -2  1

  573      4   19       1 -2  4 -6  9 -11 13 -14 14 -12 10 -7  5 -3  1 -1

  66     4   19       1 -1  3 -5  7 -10 13 -14 15 -14 12 -9  6 -4  2 -1

  673     -5   11       1 -1  3 -5  7 -10 13 -15 16 -16 14 -12  9 -6  4 -2  1

  544      4   17       1 -1  3 -5  8 -10 12 -13 12 -10   7  -4   2 -1
  74     5   20       1 -1  3 -5  8 -10 13 -15 15 -15 13 -10  7 -4  2 -1

  55   -12    2       1 -2  4 -7 10 -13 15 -15 13 -11   8  -5  3 -1  1
  754    -15    1       1 -2  4 -7 10 -14 17 -18 18 -17 14 -11  8 -5  3 -1  1

  564      4   19       1 -1  3 -5   8 -11 14 -16 17 -16 13 -10  7 -4  2 -1
  574    -14    2       1 -2  4 -7 10 -13 16 -18 18 -17 14 -11  8 -5  3 -1  1

  555      3   18       1 -2  4 -7 11 -14 17 -18 17 -14 12   -8   5 -3  1 -1
  65    -4   12       1 -1  3 -5  8  -12 15 -18 20 -20 18 -15 11 -7  4 -2  1
 
 

Symmetry groups: D2

Symmetry type: reversible.
 

Signatures: 

|p-r| if q = 1 (mod 2); 

p+1 if p = r = 1 (mod 2)     and     q = 0 (mod 2); 

q if q = r = 0 (mod 2)     and     p = 1 (mod 2); 

r if p = q = r = 0 (mod 2). 
 

Unknotting numbers:

u((2k)(2l)1(2m)) = min(k, l-m)+m if l ³ m 

u((2k)(2l)1(2m)) = m if l<m 

u((2k+1)(2l)1(2m)) = l if l ³ m 

u((2k+1)(2l)1(2m)) = min(k+1,m-l)+l if l< m 

u((2k)(2l+1)1(2m)) = l+1 if l = m, k = 1 

u((2k)(2l+1)1(2m)) = k+l-1 if l = m, k ¹

u((2k)(2l+1)1(2m)) = k+m if l > m 

u((2k)(2l+1)1(2m)) = l+1 if k = m, l < m 

u((2k)(2l+1)1(2m)) = k+l-m if l < m < k, k+l ¹ m 

u((2k)(2l+1)1(2m)) = l+1 if k+l = m 

u((2k)(2l+1)1(2m)) = |k+l-m|+l if k+l ¹ m, l< m 

u((2k+1)(2l)1(2m+1)) = min(k+l+1, k+m+1) 

u((2k+1)(2l+1)1(2m+1)) = l+1 if m = k+l 

u((2k+1)(2l+1)1(2m+1)) = k+l if l ³ m 

u((2k+1)(2l+1)1(2m+1)) = |m-k-l|+l if m ¹ k+l, < m 
 

Tables

Text