Make your own free website on Tripod.com
 

Knot family: pqr
   (p ¹r (mod 2) or p = q = r = 1 (mod 2); 
    p ³ r ; pqr = rpq)
 

Notation: 

  322 75
                    332 86
  522  96       333 910        342 97       423 9
                                       352 1020   433 1011     532  106
 

Dowker codes: 

  322        8 12 14 10  2  6  4
  522      10 14 16 18 12  2  8  4  6
  722      12 16 18 20 22 14  2 10  4  6  8
  92     14 18 20 22 24 26 16  2 12  4  6  8 10
1122      16 20 22 24 26 28 30 18  2 14  4  6  8 10 12

  332      10 14 16 12  2  8  6  4
  342      10 16 18 14 12  2  8  6  4
  352      12 18 20 16 14  2 10  8  6  4
  362      12 20 22 18 16 14  2 10  8  6  4
  372      14 22 24 20 18 16  2 12 10  8  6  4
  382      14 24 26 22 20 18 16  2 12 10  8  6  4
  392      16 26 28 24 22 20 18  2 14 12 10  8  6  4
3102      16 28 30 26 24 22 20 18  2 14 12 10  8  6  4 
3112      18 30 32 28 26 24 22 20  2 16 14 12 10  8  6  4 

  532      12 16 18 20 14 2 10 8 4 6
  732      14 18 20 22 24 16 2 12 10 4 6 8
  932      16 20 22 24 26 28 18 2 14 12 4 6 8 10 
1132      18 22 24 26 28 30 32 20 2 16 14 4 6 8 10 12

  542      12 18 20 22 16 14  2 10  8  4  6
  742      14 20 22 24 26 18 16  2 12 10  4  6  8
  942      16 22 24 26 28 30 20 18  2 14 12  4  6  8 10
 

  552      14 20 22 24 18 16  2 12 10  8  4  6
  562      14 22 24 26 20 18 16  2 12 10  8  4  6
  572      16 24 26 28 22 20 18  2 14 12 10  8  4  6
  582      16 26 28 30 24 22 20 18  2 14 12 10  8  4  6
  592      18 28 30 32 26 24 22 20  2 16 14 12 10  8  4  6

  752      16 22 24 26 28 20 18  2 14 12 10  4  6  8
  95     18 24 26 28 30 32 22 20  2 16 14 12  4  6  8 10

  762      16 24 26 28 30 22 20 18  2 14 12 10  4  6  8

  772      18 26 28 30 32 24 22 20  2 16 14 12 10  4  6  8

  333      12 10 14 18 16  2  4  6  8
  433      14 16 12 20 18  6  4  2 10  8
  533      14 12 16 22 20 18  2  4  6 10  8
  633      16 18 14 24 22 20  6  4  2 12 10  8
  733      16 14 18 26 24 22 20  2  4  6 12 10  8
  833      18 20 16 28 26 24 22  6  4  2 14 12 10  8
  933      18 16 20 30 28 26 24 22  2  4  6 14 12 10  8
1033      20 22 18 32 30 28 26 24  6  4  2 16 14 12 10  8

  353      14 12 16 18 22 20  2  4  6  8 10
  373      16 14 18 20 22 26 24  2  4  6  8 10 12 
  393      18 16 20 22 24 26 30 28  2  4  6  8 10 12 14

  443      16 18 14 12 20 22  6  4  2  8 10
  64     18 20 16 14 22 24 26  6  4  2  8 10 12
  84     20 22 18 16 24 26 28 30  6  4  2  8 10 12 14

  453      18 20 16 14 24 22  8  6  4  2 12 10 
  463      20 22 18 16 14 24 26  8  6  4  2 10 12
  473      22 24 20 18 16 28 26 10  8  6  4  2 14 12
  48     24 26 22 20 18 16 28 30 10  8  6  4  2 12 14 
  493      26 28 24 22 20 18 32 30 12 10  8  6  4  2 16 14

  553      16 14 18 20 26 24 22  2  4  6  8 12 10
  653      20 22 18 16 28 26 24  8  6  4  2 14 12 10 
  753      18 16 20 22 30 28 26 24  2  4  6  8 14 12 10
  853      22 24 20 18 32 30 28 26  8  6  4  2 16 14 12 10 

  573      18 16 20 22 24 30 28 26  2  4  6  8 10 14 12

  66     22 24 20 18 16 26 28 30  8  6  4  2 10 12 14

  673      24 26 22 20 18 32 30 28 10  8  6  4  2 16 14 12

  544      14 16 22 24 26 20 18  2  4 12 10  6  8
  74     16 18 24 26 28 30 22 20  2  4 14 12  6  8 10

  55     18 16 24 26 28 22 20  4  2 14 12 10  6  8
  754      20 18 26 28 30 32 24 22  4  2 16 14 12  6  8 10

  564      16 18 26 28 30 24 22 20  2  4 14 12 10  6  8
  574      20 18 28 30 32 26 24 22  4  2 16 14 12 10  6  8

  555      20 18 16 22 24 30 28 26  4  2  6  8 10 14 12
  65     22 24 26 20 18 32 30 28 10  8  6  2  4 16 14 12
 

Alexander polynomials:

  322      [5 -4  2
  522      [5 -5  4 -2
  722      [5 -5  5 -4  2
  92     [5 -5  5 -5  4 -2
1122      [5 -5  5 -5  5 -4  2

  332      [7     -6  2
  342      [9     -7  3
  352      [11   -9  3
  362      [13 -10  4
  372      [15 -12  4
  382      [17 -13  5
  392      [19 -15  5
3102      [21 -16  6
3112      [23 -18  6

  532      [7 -7  6 -2
  732      [7 -7  7 -6  2
  932      [7 -7  7 -7  6 -2
1132      [7 -7  7 -7  7 -6  2

  542      [9 -9  7 -3
  742      [9 -9  9 -7  3
  942      [9 -9  9 -9  7 -3

  552      [11 -11   9 -3
  562      [13 -13 10 -4
  572      [15 -15 12 -4
  582      [17 -17 13 -5
  592      [19 -19 15 -5

  752      [11 -11 11   -9  3
  95     [11 -11 11 -11  9 -3

  762      [13 -13 13 -10  4

  772      [15 -15 15 -12  4

  333      [  9  -8    4
  433      [13 -11   4
  533      [15 -13   6
  633      [19 -16   6
  733      [21 -18   8
  833      [25 -21   8
  933      [27 -23 10
1033      [31 -26 10

  353      [9  -9  8  -4
  373      [9  -9  9  -8  4
  393      [9  -9  9  -9  8  -4

  443      [13 -11   7   -3
  64     [13 -13 11   -7  3
  84     [13 -13 13 -11  7  -3

  453      [21 -17   6
  463      [19 -16 10  -4
  473      [29 -23   8
  48     [25 -21 13  -5
  493      [37 -29 10

  553      [15 -15 13  -6
  653      [31 -25   9
  753      [21 -21 18  -8
  853      [41 -33 12

  573      [15 -15 15 -13  6

  66     [19 -19 16 -10  4

  673      [43 -34 12

  544      [17 -15 11   -7  3
  74     [17 -17 15 -11  7  -3

  55     [21 -21 17   -6
  754      [21 -21 21 -17  6

  564      [25 -22 16 -10  4
  574      [29 -29 23  -8

  555      [25 -25 21 -9
  65     [31 -31 25 -9
 
D(p(2m)r) =  r-1
å
i = 0
((2i + 1)m + 1)((-t)i + (-t)p+r-i-1) +  p-1
å
i = r
(2rm + 1) (-t)i
D((2k+1)(2m+1)(2n)) = (m + 1)n(1 + t2k+2) - (3mn + 2n + 1)(t + t2k+1} + (4mn + 2n + 1) 2k-1
å
i = 1
(-t)i+1 
D((2k+1)(2m+1)(2n+1)) = (k + 1)(n + 1)(1 + t2m+2) - (3kn + 2k + 2n + 1)(t + t2m+1} + (2k + 1)(2n + 1) 2m-1
å
i = 1
(-t)i+1 

 

Jones polynomials: 

  322      2     9         1 -1  3 -3  3 -3  2 -1
  522      3   12         1 -1  3 -3  4 -5  4 -3  2 -1
  722      4   15         1 -1  3 -3  4 -5  5 -5  4 -3  2 -1
  92     5   18         1 -1  3 -3  4 -5  5 -5  5 -5  4 -3  2 -1
1122      6   21         1 -1  3 -3  4 -5  5 -5  5 -5  5 -5  4 -3  2 -1

  332      -7    1        1 -2  3 -4  4 -4  3 -1  1
  342       2   11       1 -1  3 -4  5 -5  4 -3  2 -1
  352      -9    1        1 -2  3 -4  5 -6  5 -4  3 -1  1
  362       2   13       1 -1  3 -4  5 -6  6 -5  4 -3  2 -1
  372     -11    1       1 -2  3 -4  5 -6  6 -6  5 -4  3 -1  1
  382      2   15       1 -1  3 -4  5 -6  6 -6  6 -5  4 -3  2 -1
  392     -13    1       1 -2  3 -4  5 -6  6 -6  6 -6  5 -4  3 -1  1
3102       2   17       1 -1  3 -4  5 -6  6 -6  6 -6  6 -5  4 -3  2 -1
3112     -15    1       1 -2  3 -4  5 -6  6 -6  6 -6  6 -6  5 -4  3 -1  1

  532     -10    0       1 -2  3 -5  6 -6  5 -4  3 -1  1
  732     -13   -1       1 -2  3 -5  6 -7  7 -6  5 -4  3 -1  1
  932     -16   -2       1 -2  3 -5  6 -7  7 -7  7 -6  5 -4  3 -1  1
1132     -19   -3       1 -2  3 -5  6 -7  7 -7  7 -7  7 -6  5 -4  3 -1  1

  542       3   14       1 -1  3 -4  6 -7  7 -7  5 -3  2 -1
  742       4   17       1 -1  3 -4  6 -7  8 -9  8 -7  5 -3  2 -1
  942      5   20       1 -1  3 -4  6 -7  8 -9  9 -9  8 -7  5 -3  2 -1

  552     -12    0       1 -2  3 -5  7 -8  8   -8  6   -4  3 -1  1
  562       3   16       1 -1  3 -4  6 -8  9   -9  8.  -7  5 -3  2 -1
  572     -14    0       1 -2  3 -5  7 -8  9 -10  9   -8  6 -4  3 -1  1
  582       3   18       1 -1  3 -4  6 -8  9 -10 10   -9  8 -7  5 -3  2 -1
  592     -16    0       1 -2  3 -5  7 -8  9 -10 10 -10  9 -8  6 -4  3 -1  1

  752     -15   -1       1 -2  3 -5  7 -9 10 -10   9  -8  6 -4  3 -1  1
  95    -18   -2       1 -2  3 -5  7 -9 10 -11 11 -10  9 -8  6 -4  3 -1  1

  762        4  19       1 -1  3 -4  6 -8 10 -11 11 -11   9 -7  5 -3  2 -1

  772     -17   -1       1 -2  3 -5  7 -9 11 -12 12 -12 10 -8  6 -4  3 -1  1

  333       2   11       1 -2  4 -5  6 -5  5  -3   1   -1
  433      -3    7        1 -1  3 -5  6 -7  7  -6   4   -2   1
  533       2   13       1 -2  4 -6  8 -8  8  -6   5   -3   1 -1
  633      -5    7        1 -1  3 -5  6 -8  9  -9   8   -6   4 -2  1
  733       2   15       1 -2  4 -6  8 -9 10  -9   8   -6   5 -3  1 -1
  833      -7    7        1 -1  3 -5  6 -8  9 -10 10   -9   8 -6  4 -2  1
  933       2   17       1 -2  4 -6  8 -9 10 -10 10   -9   8 -6  5 -3  1 -1
1033      -9    7        1 -1  3 -5  6 -8   9 -10 10 -10 10 -9  8 -6  4 -2  1

  353       3   14       1 -2  4 -5  7 -8  8 -6  5 -3  1 -1
  373       4   17       1 -2  4 -5  7 -8  9 -9  8 -6  5 -3  1 -1
  393       5   20       1 -2  4 -5  7 -8  9 -9  9 -9  8 -6  5 -3  1 -1

  443       3   14       1 -1  3 -5  7 -8   9  -8   6   -4   2 -1
  64      4   17       1 -1  3 -5  7 -9 11 -11 11   -9   6 -4  2 -1
  84      5   20       1 -1  3 -5  7 -9 11 -12 13 -12 11 -9  6 -4  2 -1

  453      -3    9       1 -1  3 -5  7 -9 10 -10   8  -6   4  -2  1
  463      3   16       1 -1  3 -5  7 -9 11 -11 10   -8   6  -4  2 -1
  473      -3  11       1 -1  3 -5  7 -9 11 -12 11 -10   8  -6  4 -2  1
  48     3   18       1 -1  3 -5  7 -9 11 -12 12 -11 10  -8  6 -4  2 -1
  493     -3   13       1 -1  3 -5  7 -9 11 -12 12 -12 11 -10  8 -6  4 -2  1

  553      3   16       1 -2  4 -6  9 -11 12 -11 10   -7   5   -3  1 -1
  653     -5    9        1 -1  3 -5  7 -10 12 -13 13 -12   9   -6  4 -2  1
  753      3   18       1 -2  4 -6  9 -12 14 -14 14 -12 10   -7  5 -3  1 -1
  853     -7    9        1 -1  3 -5  7 -10 12 -14 15 -15 14 -12  9 -6  4 -2  1

  573      4   19       1 -2  4 -6  9 -11 13 -14 14 -12 10 -7  5 -3  1 -1

  66     4   19       1 -1  3 -5  7 -10 13 -14 15 -14 12 -9  6 -4  2 -1

  673     -5   11       1 -1  3 -5  7 -10 13 -15 16 -16 14 -12  9 -6  4 -2  1

  544      4   17       1 -1  3 -5  8 -10 12 -13 12 -10   7  -4   2 -1
  74     5   20       1 -1  3 -5  8 -10 13 -15 15 -15 13 -10  7 -4  2 -1

  55   -12    2       1 -2  4 -7 10 -13 15 -15 13 -11   8  -5  3 -1  1
  754    -15    1       1 -2  4 -7 10 -14 17 -18 18 -17 14 -11  8 -5  3 -1  1

  564      4   19       1 -1  3 -5   8 -11 14 -16 17 -16 13 -10  7 -4  2 -1
  574    -14    2       1 -2  4 -7 10 -13 16 -18 18 -17 14 -11  8 -5  3 -1  1

  555      3   18       1 -2  4 -7 11 -14 17 -18 17 -14 12   -8   5 -3  1 -1
  65    -4   12       1 -1  3 -5  8  -12 15 -18 20 -20 18 -15 11 -7  4 -2  1
 
 

Symmetry groups: D4 if p = r; otherwise D2.

Symmetry type: chiral and reversible.
 

Signatures: 
       q-1 if p = q = r = 1 (mod 2);
       p-1 if p = q = 1 (mod 2) and r = 0 (mod 2);
       p+r-1 if p = 1 (mod 2) and q = r = 0 (mod 2)
 

Unknotting numbers:

          u(pq2) = (p+1)/2; u(p3r) = 3; u(pq3) = u(p(q+1));
        u(pqr) = min (u((p-2)qr), u(p(q-2)r), u(pq(r-2))) + 1 
          hence:
          u((2k+1)(2m+1)(2n+1)) = m + n + 1;
          u(p(2m)r) = (p+r-1)/2;
          u((2k)(2m+1)(2n+1)) = min(k,m+1) + n
 
 

Tables

Text