Knot family: pqr
(p ¹r
(mod
2) or p = q = r = 1 (mod 2);
p ³
r
;
pqr
= rpq)
Notation:
322
75
332 86
522
96
333 910
342 97
423
99
352 1020
433
1011
532
106
Dowker codes:
322
8 12 14 10 2 6 4
522
10 14 16 18 12 2 8 4 6
722
12 16 18 20 22 14 2 10 4 6 8
922
14 18 20 22 24 26 16 2 12 4 6 8 10
1122
16 20 22 24 26 28 30 18 2 14 4 6 8 10 12
332
10 14 16 12 2 8 6 4
342
10 16 18 14 12 2 8 6 4
352
12 18 20 16 14 2 10 8 6 4
362
12 20 22 18 16 14 2 10 8 6 4
372
14 22 24 20 18 16 2 12 10 8
6 4
382
14 24 26 22 20 18 16 2 12 10
8 6 4
392
16 26 28 24 22 20 18 2 14 12 10
8 6 4
3102
16 28 30 26 24 22 20 18 2 14 12 10 8 6 4
3112
18 30 32 28 26 24 22 20 2 16 14 12 10 8 6 4
532
12 16 18 20 14 2 10 8 4 6
732
14 18 20 22 24 16 2 12 10 4 6 8
932
16 20 22 24 26 28 18 2 14 12 4 6 8 10
1132
18 22 24 26 28 30 32 20 2 16 14 4 6 8 10 12
542
12 18 20 22 16 14 2 10 8 4 6
742
14 20 22 24 26 18 16 2 12 10 4 6 8
942
16 22 24 26 28 30 20 18 2 14 12
4 6 8 10
552
14 20 22 24 18 16 2 12 10 8 4 6
562
14 22 24 26 20 18 16 2 12 10 8 4 6
572
16 24 26 28 22 20 18 2 14 12 10 8 4 6
582
16 26 28 30 24 22 20 18 2 14 12 10 8 4 6
592
18 28 30 32 26 24 22 20 2 16 14 12 10 8 4 6
752
16 22 24 26 28 20 18 2 14 12 10 4 6 8
952
18 24 26 28 30 32 22 20 2 16 14 12 4 6 8 10
762
16 24 26 28 30 22 20 18 2 14 12 10 4 6 8
772
18 26 28 30 32 24 22 20 2 16 14 12 10 4 6 8
333
12 10 14 18 16 2 4 6 8
433
14 16 12 20 18 6 4 2 10 8
533
14 12 16 22 20 18 2 4 6 10 8
633
16 18 14 24 22 20 6 4 2 12 10 8
733
16 14 18 26 24 22 20 2 4 6 12 10 8
833
18 20 16 28 26 24 22 6 4 2 14 12 10 8
933
18 16 20 30 28 26 24 22 2 4 6 14 12 10 8
1033
20 22 18 32 30 28 26 24 6 4 2 16 14 12 10 8
353
14 12 16 18 22 20 2 4 6 8 10
373
16 14 18 20 22 26 24 2 4 6 8 10 12
393
18 16 20 22 24 26 30 28 2 4 6 8 10 12 14
443
16 18 14 12 20 22 6 4 2 8 10
643
18 20 16 14 22 24 26 6 4 2 8 10 12
843
20 22 18 16 24 26 28 30 6 4 2 8 10 12 14
453
18 20 16 14 24 22 8 6 4 2 12 10
463
20 22 18 16 14 24 26 8 6 4 2 10 12
473
22 24 20 18 16 28 26 10 8 6 4 2 14 12
483
24 26 22 20 18 16 28 30 10 8 6 4 2 12 14
493
26 28 24 22 20 18 32 30 12 10 8 6 4 2 16 14
553
16 14 18 20 26 24 22 2 4 6 8 12 10
653
20 22 18 16 28 26 24 8 6 4 2 14 12 10
753
18 16 20 22 30 28 26 24 2 4 6 8 14 12 10
853
22 24 20 18 32 30 28 26 8 6 4 2 16 14 12 10
573
18 16 20 22 24 30 28 26 2 4 6 8 10 14 12
663
22 24 20 18 16 26 28 30 8 6 4 2 10 12 14
673
24 26 22 20 18 32 30 28 10 8 6 4 2 16 14 12
544
14 16 22 24 26 20 18 2 4 12 10 6 8
744
16 18 24 26 28 30 22 20 2 4 14 12 6 8 10
554
18 16 24 26 28 22 20 4 2 14 12 10 6 8
754
20 18 26 28 30 32 24 22 4 2 16 14 12 6 8 10
564
16 18 26 28 30 24 22 20 2 4 14 12 10 6 8
574
20 18 28 30 32 26 24 22 4 2 16 14 12 10 6 8
555
20 18 16 22 24 30 28 26 4 2 6 8 10 14 12
655
22 24 26 20 18 32 30 28 10 8 6 2 4 16 14 12
Alexander polynomials:
322
[5 -4 2
522
[5 -5 4 -2
722
[5 -5 5 -4 2
922
[5 -5 5 -5 4 -2
1122
[5 -5 5 -5 5 -4 2
332
[7 -6 2
342
[9 -7 3
352
[11 -9 3
362
[13 -10 4
372
[15 -12 4
382
[17 -13 5
392
[19 -15 5
3102
[21 -16 6
3112
[23 -18 6
532
[7 -7 6 -2
732
[7 -7 7 -6 2
932
[7 -7 7 -7 6 -2
1132
[7 -7 7 -7 7 -6 2
542
[9 -9 7 -3
742
[9 -9 9 -7 3
942
[9 -9 9 -9 7 -3
552
[11 -11 9 -3
562
[13 -13 10 -4
572
[15 -15 12 -4
582
[17 -17 13 -5
592
[19 -19 15 -5
752
[11 -11 11 -9 3
952
[11 -11 11 -11 9 -3
762
[13 -13 13 -10 4
772
[15 -15 15 -12 4
333
[ 9 -8 4
433
[13 -11 4
533
[15 -13 6
633
[19 -16 6
733
[21 -18 8
833
[25 -21 8
933
[27 -23 10
1033
[31 -26 10
353
[9 -9 8 -4
373
[9 -9 9 -8 4
393
[9 -9 9 -9 8 -4
443
[13 -11 7 -3
643
[13 -13 11 -7 3
843
[13 -13 13 -11 7 -3
453
[21 -17 6
463
[19 -16 10 -4
473
[29 -23 8
483
[25 -21 13 -5
493
[37 -29 10
553
[15 -15 13 -6
653
[31 -25 9
753
[21 -21 18 -8
853
[41 -33 12
573
[15 -15 15 -13 6
663
[19 -19 16 -10 4
673
[43 -34 12
544
[17 -15 11 -7 3
744
[17 -17 15 -11 7 -3
554
[21 -21 17 -6
754
[21 -21 21 -17 6
564
[25 -22 16 -10 4
574
[29 -29 23 -8
555
[25 -25 21 -9
655
[31 -31 25 -9
| D(p(2m)r)
= |
r-1
å
i = 0 |
((2i + 1)m + 1)((-t)i
+ (-t)p+r-i-1) + |
p-1
å
i = r |
(2rm + 1) (-t)i |
|
| D((2k+1)(2m+1)(2n))
= (m + 1)n(1 + t2k+2) - (3mn
+ 2n + 1)(t + t2k+1} + (4mn
+ 2n + 1) |
2k-1
å
i = 1 |
(-t)i+1 |
|
| D((2k+1)(2m+1)(2n+1))
= (k + 1)(n + 1)(1 + t2m+2) - (3kn
+ 2k + 2n + 1)(t + t2m+1}
+ (2k + 1)(2n + 1) |
2m-1
å
i = 1 |
(-t)i+1 |
|
Jones polynomials:
322
2 9
1 -1 3 -3 3 -3 2 -1
522
3 12 1 -1
3 -3 4 -5 4 -3 2 -1
722
4 15 1 -1
3 -3 4 -5 5 -5 4 -3 2 -1
922
5 18 1 -1
3 -3 4 -5 5 -5 5 -5 4 -3 2 -1
1122
6 21 1 -1
3 -3 4 -5 5 -5 5 -5 5 -5 4 -3 2 -1
332
-7 1 1 -2
3 -4 4 -4 3 -1 1
342
2 11 1 -1 3 -4
5 -5 4 -3 2 -1
352
-9 1 1 -2
3 -4 5 -6 5 -4 3 -1 1
362
2 13 1 -1 3 -4
5 -6 6 -5 4 -3 2 -1
372
-11 1
1 -2 3 -4 5 -6 6 -6 5 -4 3 -1 1
382
2 15
1 -1 3 -4 5 -6 6 -6 6 -5 4 -3 2 -1
392
-13 1
1 -2 3 -4 5 -6 6 -6 6 -6 5 -4 3 -1
1
3102
2 17 1 -1 3 -4
5 -6 6 -6 6 -6 6 -5 4 -3 2 -1
3112
-15 1 1 -2
3 -4 5 -6 6 -6 6 -6 6 -6 5 -4 3 -1
1
532
-10 0 1 -2
3 -5 6 -6 5 -4 3 -1 1
732
-13 -1 1 -2 3 -5
6 -7 7 -6 5 -4 3 -1 1
932
-16 -2 1 -2 3 -5
6 -7 7 -7 7 -6 5 -4 3 -1 1
1132
-19 -3 1 -2 3 -5
6 -7 7 -7 7 -7 7 -6 5 -4 3 -1 1
542
3 14 1 -1 3 -4
6 -7 7 -7 5 -3 2 -1
742
4 17 1 -1 3 -4
6 -7 8 -9 8 -7 5 -3 2 -1
942
5 20
1 -1 3 -4 6 -7 8 -9 9 -9 8 -7 5 -3
2 -1
552
-12 0 1 -2
3 -5 7 -8 8 -8 6 -4 3 -1
1
562
3 16 1 -1 3 -4
6 -8 9 -9 8. -7 5 -3 2 -1
572
-14 0 1 -2
3 -5 7 -8 9 -10 9 -8 6 -4 3 -1
1
582
3 18 1 -1 3 -4
6 -8 9 -10 10 -9 8 -7 5 -3 2 -1
592
-16 0 1 -2
3 -5 7 -8 9 -10 10 -10 9 -8 6 -4 3 -1
1
752
-15 -1 1 -2 3 -5
7 -9 10 -10 9 -8 6 -4 3 -1 1
952
-18 -2 1 -2 3 -5
7 -9 10 -11 11 -10 9 -8 6 -4 3 -1 1
762
4 19 1 -1 3 -4 6
-8 10 -11 11 -11 9 -7 5 -3 2 -1
772
-17 -1 1 -2 3 -5
7 -9 11 -12 12 -12 10 -8 6 -4 3 -1 1
333
2 11 1 -2 4 -5
6 -5 5 -3 1 -1
433
-3 7 1 -1
3 -5 6 -7 7 -6 4 -2
1
533
2 13 1 -2 4 -6
8 -8 8 -6 5 -3 1 -1
633
-5 7 1 -1
3 -5 6 -8 9 -9 8 -6
4 -2 1
733
2 15 1 -2 4 -6
8 -9 10 -9 8 -6 5 -3 1
-1
833
-7 7 1 -1
3 -5 6 -8 9 -10 10 -9 8 -6 4
-2 1
933
2 17 1 -2 4 -6
8 -9 10 -10 10 -9 8 -6 5 -3 1 -1
1033
-9 7 1 -1
3 -5 6 -8 9 -10 10 -10 10 -9 8 -6 4 -2
1
353
3 14 1 -2 4 -5
7 -8 8 -6 5 -3 1 -1
373
4 17 1 -2 4 -5
7 -8 9 -9 8 -6 5 -3 1 -1
393
5 20 1 -2 4 -5
7 -8 9 -9 9 -9 8 -6 5 -3 1 -1
443
3 14 1 -1 3 -5
7 -8 9 -8 6 -4 2
-1
643
4 17 1 -1 3 -5
7 -9 11 -11 11 -9 6 -4 2 -1
843
5 20 1 -1 3 -5
7 -9 11 -12 13 -12 11 -9 6 -4 2 -1
453
-3 9 1 -1 3
-5 7 -9 10 -10 8 -6 4 -2
1
463
3 16 1 -1 3 -5
7 -9 11 -11 10 -8 6 -4 2 -1
473
-3 11 1 -1 3 -5 7
-9 11 -12 11 -10 8 -6 4 -2 1
483
3 18 1 -1 3 -5
7 -9 11 -12 12 -11 10 -8 6 -4 2 -1
493
-3 13 1 -1 3 -5
7 -9 11 -12 12 -12 11 -10 8 -6 4 -2 1
553
3 16 1 -2 4 -6
9 -11 12 -11 10 -7 5 -3 1 -1
653
-5 9 1 -1
3 -5 7 -10 12 -13 13 -12 9 -6 4 -2
1
753
3 18 1 -2 4 -6
9 -12 14 -14 14 -12 10 -7 5 -3 1 -1
853
-7 9 1 -1
3 -5 7 -10 12 -14 15 -15 14 -12 9 -6 4 -2 1
573
4 19 1 -2 4 -6
9 -11 13 -14 14 -12 10 -7 5 -3 1 -1
663
4 19 1 -1 3 -5
7 -10 13 -14 15 -14 12 -9 6 -4 2 -1
673
-5 11 1 -1 3 -5
7 -10 13 -15 16 -16 14 -12 9 -6 4 -2 1
544
4 17 1 -1 3 -5
8 -10 12 -13 12 -10 7 -4 2 -1
744
5 20 1 -1 3 -5
8 -10 13 -15 15 -15 13 -10 7 -4 2 -1
554
-12 2 1 -2
4 -7 10 -13 15 -15 13 -11 8 -5 3 -1 1
754
-15 1 1 -2
4 -7 10 -14 17 -18 18 -17 14 -11 8 -5 3 -1 1
564
4 19 1 -1 3 -5
8 -11 14 -16 17 -16 13 -10 7 -4 2 -1
574
-14 2 1 -2
4 -7 10 -13 16 -18 18 -17 14 -11 8 -5 3 -1 1
555
3 18 1 -2 4 -7 11
-14 17 -18 17 -14 12 -8 5 -3 1 -1
655
-4 12 1 -1 3 -5
8 -12 15 -18 20 -20 18 -15 11 -7 4 -2 1
Symmetry groups: D4
if p = r; otherwise D2.
Symmetry type: chiral and reversible.
Signatures:
q-1 if
p
= q = r = 1 (mod 2);
p-1 if p
= q = 1 (mod 2) and r = 0 (mod 2);
p+r-1
if
p = 1 (mod 2) and q = r = 0 (mod 2).
Unknotting numbers:
u(pq2)
= (p+1)/2;
u(p3r) = 3; u(pq3)
= u(p(q+1));
u(pqr)
= min (u((p-2)qr),
u(p(q-2)r),
u(pq(r-2)))
+ 1
hence:
u((2k+1)(2m+1)(2n+1))
= m + n + 1;
u(p(2m)r)
= (p+r-1)/2;
u((2k)(2m+1)(2n+1))
= min(k,m+1) + n.
|